Siete millones de dólares para siete problemas matemáticos

En agosto pasado el congreso de la Unión Matemática Internacional, celebrado en Corea del Sur, galardonó con su premio anual al profesor del Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de Nueva York Subhash Khot. El científico de origen indio dedicó mucho tiempo a la teoría de la complejidad computacional, el primero de los siete retos. Sin embargo, no demostró el teorema existente al respecto, que lleva los nombres de los matemáticos Cook y Levin, sino que ofreció una nueva conjetura, motivo por el cual fue premiado por el jurado.
 
¿Cuál es el enigma que vale un millón y cuesta tantos esfuerzos? Los matemáticos no solo lo reproducen en fórmulas científicas, sino que las plantean como si fuera una situación cotidiana. 

P contra NP

Supongamos que usted se encuentra en un salón junto con muchas otras personas y quiere saber si su amigo también está ahí. Si les dicen que está sentado en el rincón contrario de la sala bastará un instante para verificar la información. A falta de esa información, sin embargo, usted tendrá que recorrer el salón una y otra vez y mirar a todos los invitados hasta encontrar a su amigo. Eso demuestra que solucionar un problema lleva más tiempo que verificar una solución ya ofrecida.

¿Pero es la misma la respuesta en los modelos matemáticos, y en especial en la informática? Aparentemente sí, pero nadie ha podido comprobarlo con suficiente veracidad. 

El investigador Stephen Cook planteó el problema de la siguiente manera: ¿verificar una solución es más difícil y lleva más tiempo que obtener una solución propia independientemente del algoritmo de la verificación? Cook formuló esta pregunta en 1971 como el problema de las clases de complejidad P y NP y desde entonces la cuestión sigue sin resolver, a pesar de la gran importancia que tiene para la informática. Los especialistas dicen que resolver la cuestión podría revolucionar las bases de la criptografía que se usa para la transmisión y el almacenamiento de datos, y en particular para la mensajería electrónica segura y sistemas de pago como el bitcóin.

El resto de los Problemas del Milenio son los siguientes enigmas de cálculo: 

Hipótesis de Riemann

Algunos números naturales no tienen ningún divisor aparte de sí mismos y el 1. Estos números son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, etc. Se llaman números primos y desempeñan un importante papel en la matemática pura y sus aplicaciones. Según los manuales escolares, la distribución de estos números en el conjunto de los números naturales enteros no obedece ninguna lógica. Sin embargo, el alemán Bernhard Riemann supuso que existe una función matemática para esta consecuencia que se calcula mediante la denominada 'función zeta', que describe la distribución de los 'ceros no triviales'. 
 
El propio autor de la conjetura no pudo predecir la transcendencia informática de sus ideas. Pero actualmente sí se espera que, una vez comprobada, la hipótesis tenga un impacto revolucionario sobre los métodos de codificación y la seguridad de Internet. 

En el año 2004 Xavier Gourdon verificó la conjetura de Riemann numéricamente a lo largo de los primeros diez trillones de ceros no triviales de la función. Sin embargo, la comunidad matemática concluyó que no se trataba estrictamente de una demostración.

Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Una de las primeras computadoras británicas, diseñada en los años 1950, fue probada en cálculos vinculados con un intento de relacionar los datos aritméticos asociados a una curva elíptica con una función conocida desde hacía tiempo que también describía las curvas. El matemático de la Antigua Grecia Euclides describió la elipse simple con la fórmula x2 + y2 = z2. Sus discípulos modernos intentaron modificar esta solución simple mediante un coeficiente, de cálculo bastante complicado, para describir figuras visualmente similares pero no lineales. Esta es la esencia de la conjetura, pero hasta la fecha no existe la fórmula del coeficiente.

 

La conjetura de Hodge

En el siglo XX los matemáticos descubrieron un potente método de comprensión de los objetos geométricos de forma complicada. La idea general consiste en reducir matemáticamente el propio objeto estudiado a un conjunto de 'ladrillos' (científicamente hablando, subvariedades) que puestos juntos uno a otro forman un homólogo geométrico. La conjetura dice que ciertos grupos de esta cohomología son algebraicos y se resuelven como sumas de dualidades.

Un millón de dólares del Instituto de Matemáticas Clay todavía espera al que logre demostrarlo explícitamente.

Ecuaciones de Navier-Stokes

Si navegamos a través de un lago en una barca aparecerán ondas sobre el agua, si lo sobrevolamos en un avión se formarán estelas de turbulencia. Se supone que ambos fenómenos mecánicos, los movimientos de fluidos que dejan, están descritos por el conjunto de ecuaciones de Navier-Stokes, pero hasta el momento no se dispone de una solución general para ellas. Se creó incluso una rama de la física que se dedica a la obtención empírica de los índices numéricos que corresponden a cada variable, que se denomina 'dinámica de fluidos computacional'.

Un matemático de Kazajistán afirmó a comienzos de este año haber encontrado una solución satisfactoria para el conjunto de ecuaciones Navier-Stokes sobre la mecánica de fluidos. El profesor Mujtarbái Otelbáyev aseguró que para cada conjunto inicial de parámetros la solución es única y se reduce a derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de cualquier fluido. El mundo científico consideró que esta demostración es parcial.

El propio problema es el más antiguo de todos los siete. Fue formulado en 1822 por el físico francés Claude-Louis Navier y es el único que el siglo XXI hereda del XIX sin resolver.

La conjetura de Poincaré

Hasta ahora, solo la conjetura de Poincaré ha sido resuelta de una manera reconocida mundialmente por toda la comunidad matemática internacional. El autor de la solución es el científico ruso Grigori Perelmán, quien rechazó el premio de un millón de dólares de la Fundación Clay, por lo que el comité tuvo que invertir el dinero en otros proyectos.

 
El problema, según los matemáticos, también tiene su correspondiente situación banal: si colocamos una goma elástica sobre la superficie de una manzana podemos desplazar la goma sin que se rompa y sin que en ningún momento deje de estar en contacto con la superficie de la fruta hasta que se reduzca en un punto. Pero si intentamos colocar la misma goma sobre la superficie de una rosquilla no podremos conseguir que esta cinta se deslice hasta encogerse en un punto sin romper la cinta o la rosca. Se suele decir que la superficie de la manzana (un cuerpo esférico) es conexa, mientras que la superficie de la rosca no lo es, pero nadie pudo demostrarlo matemáticamente antes que Perelmán.

Teoría de Yang-Mills

Durante un tiempo las ecuaciones ofrecidas en 1954 por Chen Ning Yang y Robert Mills se percibieron en el mundo científico como una 'floritura' matemática sin ninguna relación con la realidad. No obstante, los propios autores insistían en que la geometría de 'invariancia local' que describían estaba relacionada con la física de algunas partículas elementales, en concreto con su comportamiento en ciertas condiciones.

Así fue. Sus cálculos abrieron el camino a la unificación de los conocimientos sobre la electrodinámica, la interacción nuclear fuerte y la interacción débil. Actualmente tienen una relevancia enorme en teoría cuántica de campos. Pero hasta el momento no se ha podido demostrar que los cálculos algebraicos que llevaron a tan importante descubrimiento son correctos.